RELATIVIDADE SDCTIE GRACELI EM Aproximação WKB

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI. E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia

[comprimento de onda (λ).

\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda

onde c, velocidade da luz, é igual a

f\lambda

TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
X
CATEGORIAS DE GRACELI
T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

Em física matemática, a aproximação WKB ou método WKB é um método de encontrar soluções aproximadas de equações diferenciais parciais com coeficientes variando no espaço. É geralmente utilizado para cálculos quase-clássicos na mecânica quântica, na qual a função de onda é reescrita como uma função exponencial, quase-classicamente expandida, e em seguida a amplitude ou a fase é variada lentamente.

O nome é um acrônimo para Wentzel-Kramers-Brillouin. Também é conhecido como o método LG ou método de Liouville-Green. Outras siglas, muitas vezes utilizadas para o método, são JWKB e WKBJ, onde o "J" significa Jeffreys.

Breve história[editar | editar código-fonte]

Este método tem esse nome em homenagem aos físicos Wentzel, Kramers, e Brillouin, que o desenvolveram em 1926. Em 1923, o matemático Harold Jeffreys tinha desenvolvido um método geral de aproximar soluções para equações diferenciais de segunda ordem lineares, que inclui a equação de Schrödinger. Porém, apesar de a equação de Schrödinger ter sido desenvolvida dois anos depois, Wentzel, Kramers e Brillouin aparentemente desconheciam esse trabalho anterior, de modo que Jeffreys muitas vezes não recebe créditos pelo método. A literatura do início da mecânica quântica contém um número de combinações de suas iniciais, incluindo WBK, BWK, WKBJ, JWKB e BWKJ.

As referências anteriores ao método são: Carlini em 1817, Liouville em 1837, George Green em 1837, Rayleigh em 1912 e Gans em 1915. Pode-se dizer que Liouville e Green são os criadores do método, em 1837, que também é comumente referido como o método Liouville-Green ou método LG.^[1] ^[2]

A importante contribuição de Jeffreys, Wentzel, Kramers e Brillouin ao método foi a inclusão do tratamento dos pontos de retorno, que conectam as soluções evanescentes e oscilatórias em ambos os lados do ponto de retorno. Por exemplo, isso pode ocorrer na equação de Schrödinger, devido a um poço de energia potencial.

Método WKB[editar | editar código-fonte]

Geralmente, a aproximação WKB é um método para aproximar a solução de uma equação diferencial onde a derivada de maior ordem é multiplicada por um parâmetro ε pequeno. O método de aproximação é o seguinte:

Uma equação diferencial

\epsilon {\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+a(x){\frac {\mathrm {d} ^{n-1}y}{\mathrm {d} x^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+m(x)y=0

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

deve admitir uma solução em forma de série assintótica de expansão

y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right].

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

No limite

\delta \rightarrow 0

. A substituição do ansatz acima na equação diferencial e o cancelamento dos termos exponenciais permitem que se resolva para um número arbitrário de termos

S_{n}(x)

na expansão. A teoria WKB é um caso especial de análise em escala múltipla.^[3]^[4]^[5]

Um exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem

\epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,

onde

Q(x)\neq 0

. Substituindo

y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]

resulta na equação

\epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x).

Como regra principal (assumindo, no momento, que a série será assintoticamente consistente), a expressão acima pode ser aproximada como

{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x).

No limite

\delta \rightarrow 0

,o termo dominante é dado por

{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x).

Assim, δ é proporcional a ε. Igualando-os e comparando as potências, temos

\epsilon ^{0}:\;\;\;S_{0}'^{2}=Q(x),

que pode ser reconhecido como a equação eikonal, com solução

S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt.

Comparando as potências de primeira ordem de

\epsilon

, vem

\epsilon ^{1}:\;\;\;2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0.

Esta é a equação de transporte unidimensional, que tem a solução

S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\log \left(Q(x)\right)+k_{1}\,,

onde

k_{1}

é uma constante arbitrária. Agora temos um par de aproximações para o sistema (um par porque

S_{0}

pode ser positivo ou negativo). A aproximação WKB de primeira ordem será uma combinação linear de:

y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right].

Os termos de ordem superior podem ser obtidos comparando-se as equações para potências mais altas de ε. Explicitamente,

2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0,

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

para

n>2

. Este exemplo vem do livro de Bender e Orszag (ver referências).

Precisão da série assintótica[editar | editar código-fonte]

A série assintótica para

y(x)

em geral é uma série divergente cujo termo geral

\delta ^{n}S_{n}(x)

começa a aumentar após um certo valor

n=n_{\max }

. Portanto, o menor erro obtido pelo método WKB é, na melhor das hipóteses, da ordem do último termo incluído. Para a equação

\epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,

com

Q(x)<0

uma função analítica, o valor

n_{\max }

e a magnitude do último termo podem ser estimados da seguinte forma (ver Winitzki 2005),

n_{\max }\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}dz{\sqrt {-Q(z)}}\right|,

\delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\exp[-n_{\max }],

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde

x_{0}

é o ponto em que

y(x_{0})

precisa ser avaliado e

x_{\ast }

é o ponto de retorno (complexo) onde

Q(x_{\ast })=0

, mais próximo de

x=x_{0}

. O número

n_{\max }

pode ser interpretado como o número de oscilações entre

x_{0}

e o ponto de retorno mais próximo. Se

\epsilon ^{-1}Q(x)

é uma função que varia lentamente,

\epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

o número

n_{\max }

será grande, e o erro mínimo histórico da série assintótica será exponencialmente pequeno.

Aplicação à equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]

A equação de Schrödinger unidimensional e independente do tempo é

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

que pode ser reescrita como

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x).

A função de onda pode ser reescrita como a exponencial de outra função Φ(que está intimamente relacionada com a ação):

\Psi (x)=e^{\Phi (x)},\!

de modo que

\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right),

onde

\Phi '

indica a derivada de

\Phi

em relação a x. A derivada

\Phi '(x)

pode ser separada em partes real e imaginária, introduzindo as funções reaisAeB

\Phi '(x)=A(x)+iB(x).\;

A amplitude da função de onda é então

\exp \left[\int ^{x}A(x')dx'\right]\,\!,

enquanto que a fase é

\int ^{x}B(x')dx'\,\!.

As partes real e imaginária da equação de Schrödinger tornam-se, então

A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right),

B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;

Em seguida, faz-se a aproximação quase-clássica. Isto significa que cada função é expandida como uma série de potências em

\hbar

. A partir das equações, pode -se ver que a série de potências deve começar com pelo menos uma ordem de

\hbar ^{-1}

para satisfazer a parte real da equação. A fim de alcançar um bom limite clássico, é necessário começar com a potência mais alta possível da constante de Planck:

A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x),

B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x).

Para o termo de ordem zero, as condições sobre A e B podem ser escritas:

A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right),

A_{0}(x)B_{0}(x)=0\;.

Se a amplitude varia suficientemente lenta em comparação com a fase (

A_{0}(x)=0

), segue que

B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}},

que só é válida quando a energia total é maior do que a energia potencial, como sempre acontece no movimento clássico. Após o mesmo procedimento para o próximo termo, segue-se que

\Psi (x)\approx C_{0}{\frac {e^{i\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}.

Por outro lado, se é a fase que varia lentamente (em comparação com a amplitude), (

B_{0}(x)=0

) e então

A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}},

que só é válido quando a energia potencial é maior do que a energia total (o regime em que o tunelamento quântico ocorre). Encontrando os termos da expansão de próxima ordem

\Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}.

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Decorre do denominador que ambas as soluções aproximadas tornam-se singulares próximas do ponto de retorno clássico, em que

E=V(x)

e não podem ser mais válidas. Estas são as soluções aproximadas longe do potencial e abaixo do potencial. Longe do potencial, a partícula se move de maneira similar a uma onda viajante - a função de onda é oscilante. Abaixo do potencial, a partícula passa por variações exponenciais na amplitude.

Para completar a dedução, as soluções aproximadas devem ser encontradas em toda parte, e seus coeficientes devem ser combinados para construir-se uma única solução aproximada. A solução aproximada próxima aos pontos de retorno clássicos

E=V(x)

ainda está para ser encontrada.

Para um ponto de retorno clássico

x_{1}

e perto de

E=V(x_{1})

, o termo

{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)

pode ser expandido em uma série de potências.

{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots \;.

Para a primeira ordem, temos

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x).

Esta equação diferencial é conhecida como equação de Airy, e a solução pode ser escrita em termos das funções de Airy:

\Psi (x)=C_{A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{1})\right).

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Esta solução deve se conectar às soluções acima e abaixo. Dados os dois coeficientes de um dos lados do ponto de retorno clássico, os 2 coeficientes do outro lado do ponto de retorno clássico podem ser determinados por esta solução local que os conecta. Assim, uma relação entre

C_{0},\theta

and

C_{+},C_{-}

pode ser encontrada.

Felizmente, as funções de Airy tendem assintoticamente ao seno, cosseno e funções exponenciais dos limites próprios. A relação pode ser encontrada como sendo da seguinte forma (muitas vezes referida como "fórmulas de conexão"):

{\begin{aligned}C_{+}&=+{\frac {1}{2}}C_{0}\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)},\\C_{-}&=-{\frac {1}{2}}C_{0}\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}.\end{aligned}}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Agora as soluções totais (aproximadas) podem ser construídas.

quinta-feira, 26 de março de 2020

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI. E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

Breve história[editar | editar código-fonte]

Método WKB[editar | editar código-fonte]

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Um exemplo[editar | editar código-fonte]

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Precisão da série assintótica[editar | editar código-fonte]

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Aplicação à equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]

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